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ALGORITHMES

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Les suites (série S)

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Les suites (algorithmes)

 

On considère la suite $(U_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left \{ \begin{array}{l} U_{n+1} = 2 U_n + 5 \\ U_0 = 1 \end{array} \right.$.

Cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique : on ne dispose d'aucune formule pour calculer directement le $n^{\text{ème}}$ terme de la suite ni pour calculer sa somme. 

 

Exemple

On cherche le rang $N$ de la suite tel que $U_n > 50$. 

 

Variables : $N, U$

Entrée :
$ 0 \to N$, $N$ est le compteur du rang$
$1 \to U$ $U$ est le terme $U_N$

Traitement : 
Tant que $U \leq 50$
      $2U + 5 \to U$
      $N + 1 \to N$
Fin du Tant que 

Sortie : Afficher $N$

 

Lorsque l'on rentre pour la première fois dans la boucle, $U$ vaut 1.

On calcule alors $U_1 = 7 \leq 50$, on continue donc le calcul du terme suivant et ainsi de suite. 

L'algorithme s'arrête $N = 11$ : ainsi $U_{11} > 50$.  

 

Autre exemple

On souhaite à présent calculer $S_4 = U_0 + U_1 + U_2 + U_3 + U_4$. 

 

Variables : $N, U, S$

Entrée:
Saisir $N$ (on demande à l'utilisateur de rentrer jusqu'à quel terme de la suite il souhaite calculer la somme, ici $N = 4$)
$1 \to U$
$U \to S$, on stocke $U$ dans $S$ car $S_0 = U_0$. 

Traitement :
Pour $i$ allant de 1 à $N =4$ (on utilise la boucle pour car on connait le nombre d'itérations)
      $2U + 5 \to U$
      $U + S \to S$
Fin du Pour

Sortie : Afficher $S$