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ANNALE - EXPONENTIELLE, INTÉGRALE ET ALGORITHME

Exercice d'application


Annales

  • Exercice : Une fonction h - Annale Bac

    Partie A

    On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $h(x) = xe^{-x}.$

    1) Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty.$

    2) Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $0;+\infty$ et dresser son tableau de variations.

    3) L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h.$

    a) Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0; +\infty[,$ on a :

    $h(x) = e^{-x}-h'(x)$

    où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h.$

    b) Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0; +\infty[$ de la fonction $x \to e^{-x}.$

    c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

     

    Partie B

    On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par :

    $f(x)= xe^{-x} + ln(x+1)$

    et $g(x) =ln(x+1).$

    On note $C_f$ et $C_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.

    Ces deux courbes sont tracées en annexe.

    1) Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0; +\infty[,$ on appelle $M$ le point de coordonnées $(x;f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x;g(x)) : M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $C_f$ et $C_g$.

    a) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.

    b) Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN.$

     

    2) Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0; +\infty[.$ On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $C_f$ et $C_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda.$

    a) Hachurer le domaine $D_{\lambda}$ correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.

    b) On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda},$ exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

    $A_{\lambda} = 1 - \frac{\lambda+1}{e^{\lambda}}$

    c) Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.

     

    3) On considère l’algorithme suivant :

    Variables :

    $\lambda$ est un réel positif

    $S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.

    Initialisation :

    Saisir $S$

    $\lambda$ prend la valeur 0

    Traitement :

    Tant que $1 - \frac{\lambda+1}{e^{\lambda}} < S$ faire

    $\lambda$ prend la valeur $\lambda +1$ 

    Fin tant que

    Sortie :

    Afficher $\lambda$

     

    a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S = 0,8$ ?

    b) Quel est le rôle de cet algorithme ? 

     

    Annexe : 

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