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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

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Divisibilité et division euclidienne - Exercice

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Exercice

 

Montrons que \(N = a(a^2 - 1)\) est divisible par 6 lorsque \(a \in \mathbb{N}\).

 

Étape 1 : \(N\) est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

Étape 2 : On réécrit \(N\) grâce à l'identité remarquable pour faire apparaître 3 nombres successifs.

Étape 3 : Si \(a\) est pair, on remplace \(a\) par \(2k.\)

Étape 4 : \(N\) s'écrit sous la forme d'un produit multiplié par 2, donc \(N\) est pair.

Étape 5 : Si \(a\) est impair, on remplace \(a\) par \(2k + 1\) et on arrive à la même conclusion.

Étape 6 : Si \(a\) est multiple de 3, alors \(a = 3k.\)

Étape 7 : On remplace \(a\) par \(3k\) et on en conclut que \(N\) est multiple de 3.

Étape 8 : On répète l'opération avec \(a = 3k + 1.\)