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DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

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Les nombres premiers

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Les nombres premiers

 

Définition

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.

 

Théorème

Tout $n\in \mathbb{N}$ avec $n\geq 2$ admet au moins un diviseur premier.

Si $n$ n'est pas premier et $n\geq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $\sqrt{n}$

 

Décomposition en facteurs premiers

 

Théorème

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.

$\;n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ......... p_r^{\alpha_r}\;$   

Avec  ${p_i}, {i \in \{1;r\}}$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_i, {i \in \{1;r\}}$ des entiers.

 

Exemple

On décompose 96 en produit de facteurs premiers :

étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.

étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.

étape 3 : On continue tant qu'on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.

étape 4 : On s'arrête lorsque le reste vaut 1.

étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :

$96=2^5 \times 3$