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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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PPCM - PGCD

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PGCD et PPCM

 

Définition

Soient \(a\) et \(b\), deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On suppose que :

\(a = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ... \times p_n^{\alpha_n}\)

\(b = p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2} \times ... \times p_n^{\beta_n}\)

On note \(m = min (\alpha_i : \beta_i)\) avec \(i\) entier naturel non nul.

\(M = max (\alpha_i : \beta_i)\)

Le PGCD de deux entiers est le plus grand diviseur commun de ces deux entiers.

Le PPCM de deux entiers est le plus petit commun multiple de ces deux entiers.

 

On a : 

\(PGCD (a ; b) = p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times ... \times p_n^{m_n}\)

\(PPCM (a ; b) = p_1^{M_1} \times p_2^{M_2} \times ... \times p_n^{M_n}\)

 

Propriétés du PGCD

 

Soit $a$, $b$ et $r$ entiers non nuls.

1) $PGCD(a;b)\geq 1$

2) $PGCD(a;b) = PGCD(b;a)$

3) $PGCD(a;a)=\vert a\vert$

4) $PGCD(a;b) =PGCD(-a;b) =PGCD(a;-b)$

5) Si $b\mid a$, $PGCD(a;b)=\vert b \vert$

6) Si $a=bq+r$ alors, $PGCD(a;b) =PGCD(b;r)$