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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Arithmétique

  • Exercice : Arithmétique

     

    Partie A

     

    On considère l’équation $(E)$ suivante : $51x − 26y = 1$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

     

    1) Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.

     

    2) A) Donner un couple solution ($x_0$ ; $y_0$) de cette équation.

    B) Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation.

     

     

    Partie B

     

    On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

     

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    J

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

     

    K

    L

    M

    N

    O

    P

    Q

    R

    S

    T

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

     

    U

    V

    W

    X

    Y

    Z

    20

    21

    22

    23

    24

    25

     

    Afin de coder une lettre de l’alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par :

    $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.
    La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.

     

    1) Coder la lettre $N$.

    2) En utilisant la partie $A$, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$  et  $51a \equiv 1\; [26]$.

    3) Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne par $26$ d'une fonction de décodage $f^{-1} (y) = ay + 2$.

    4) Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre $N$. Que constate-t-on ?

    5) On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?

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