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BOOST MATHS - FONCTION VALEUR ABSOLUE

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Fonction valeur absolue

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Fonction Valeur absolue

 

Définition

 

La fonction valeur absolue est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à valeur dans $\mathbb{R}^+$ et on la note $\left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}^+ \\ & & x & \mapsto & |x| \end{array} \right.$.

La valeur absolue d'un nombre positif est le nombre lui-même.

La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé. 


En d'autres termes,

Si $x \geq 0, \ |x| = x$

Si $x \leq 0, \ |x| = -x$

 

La fonction est strictement décroissante pour $x$ négatif et strictement croissante pour $x$ positif. 

variations_valeur_absolue

 

Sa représentation graphique est la suivante :

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Propriétés 


Pour tout $x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2} = |x|$. 

Par exemple, $\sqrt{(-4)^2} = 4 = |-4|$. 

 

Exemples :

$|-5| = 5$

$|7| = 7$

$|\sqrt{2} - 5| = - \sqrt{2} + 5$

$|\pi + 2| = \pi + 2$

$|\pi - 4| = 4 - \pi$

 

Pour étudier la fonction $f(x) = |x + 3|$, on étudie le signe de $x + 3$ en s'aidant d'un tableau de signe.

Si $x + 3 \geq 0$ alors $f(x) = x + 3$. Si $x + 3 \leq 0$ alors $f(x) = -(x + 3)$.