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BOOST MATHS - LIMITE D'UNE FONCTION EN UN RÉEL A

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Limite d'une fonction en un réel a

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Limite infinie d'une fonction en un réel a

 

Définitions

$\bullet$ Soit $a$ un réel. Une fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout réel $A$, il existe un intervalle centré en $a$ tel que pour tous les $x$ appartenant à cet intervalle, on a : $f(x)>A$.

On note $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=+\infty$.

$\bullet$ Si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty$ alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

Ces définitions sont de même nature si $f$ tend vers $-\infty$ ou si on étudie les limites à gauche ou à droite de la fonction.

 

Illustrations graphiques

On va ici prendre en exemple le point $x=5$ mais les remarques et illustrations graphiques seront valables pour n'importe quel point $x=a$ avec $a\in \mathbb{R}$.

1)

-583


Sur la figure $1$, le nombre $x=5$ est une  "valeur interdite" de la fonction représentée en rouge.

On constate que lorsque $x$ se rapproche de $5$ (par la droite ou par la gauche), $f(x)$ est de plus en plus grand.

On dit alors que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $5$ et on note $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=+\infty$.

Ici, et dans les deux cas suivants, la droite d'équation $x=5$ est une asymptote verticale à la courbe.

 

2)

-584


Sur la figure $2$, le nombre $x=5$ est une nouvelle fois une "valeur interdite" de la fonction représentée en violet.

On constate que lorsque $x$ se rapproche de $5$ (par la droite ou par la gauche), $f(x)$ est de plus en plus petit.

On dit alors que $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $5$ et on note $\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=-\infty$.

 

3)

-585


Le cas de la figure $3$ est différent. Certes le point $x=5$ est toujours une valeur interdite, mais la limite de la fonction représentée par la courbe bleu foncé n'est pas la même lorsqu'on s'approche soit par la gauche, soit par la droite de $x=5$.

On constate ici que $\displaystyle \lim_{\underset{x<5}{x\to 5}} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>5}{x\to 5}} f(x)=+\infty$. 

Attention : Puisque les limites à gauche et à droite sont différentes, la $\displaystyle\lim_{x\to 5} f(x)$ n'existe pas.