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INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE

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Définition de l'intégrale

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Définition de l'intégrale



Définition

 

Soit (O,$\overrightarrow {i}$,$\overrightarrow {j}$) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$.

$\mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$=$a$  ,   $x$=$b$, l'axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.

L'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $ \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt$ est l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire.

definition_integrale

Exemple

Calculer $I = \displaystyle \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ ($x$ et $t$ sont des variables muettes). 

integrale-fonction-positive

Etape 1 : On repère l'aire recherchée.

Etape 2 : On remarque qu'il s'agit d'un trapèze rectangle.

Etape 3 : La formule du calcul d'aire du trapèze rectangle est connue. On peut l'utiliser pour calculer l'intégrale :

$ A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$

$ A = \dfrac{5 \times 3}{2}$

Finalement, $I = \dfrac{15}{2}$  (exprimée en unité d'aire)

 

 

Cas d'une fonction non positive



Le signe d'une aire est toujours positif en revanche celui d'une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

 

integrale-fonction

 

Ainsi, on pourrait avoir $I$:

$I= \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt=- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2-\mathcal {A}_3+\mathcal {A}_4$ 

Les $ \mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.

 

 

Exemple

Voici comment représenter: $\displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$

integrale_-fonction-changement-signe

$I = \displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2$