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STAGE - INTÉGRATION PAR PARTIES

Exercice - Intégration par parties



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


  • Question 1

    Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
    Soit $x \in [1; e]$,
    Montrer que $(\ln x)^n - (\ln x)^{n+1} \geq 0$

  • Question 2

    En déduire que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $I_n = \displaystyle \int_1^e (\ln x)^n \, \text{d}x$ est décroissante.

  • Question 3

    Calculer $I_1$. 

  • Question 4

    Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
    $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$.

  • Question 5

    En déduire la valeur exacte de $I_3$. 

  • Question 6

    Démontrer que $(n + 1)I_n \leq e$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 

  • Question 7

    En déduire la limite de $I_n$. 

  • Question 8

    Calculer la valeur de $nI_n + (I_n + I_{n+1})$ et en déduire la limite de $nI_n$. 

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