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STAGE - LOI DES GRANDS NOMBRES

Exercice - Loi faible des grands nombres



L'énoncé

- Répondre aux questions suivantes


  • Question 1

    La probabilité d'obtenir une boule bleue est $\dfrac{4}{7}$.
    On trace alors l'arbre des probabilités de l'expérience, en se rappelant que le tirage se fait avec remise. 

    loi_faible

    Ainsi, $P(X = 2) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{4}{7}  = \dfrac{16}{49}$
    En outre, $P(X = 1) = 2 \times \dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{7}  = \dfrac{24}{49}$
    Enfin, $P(X = 0) = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{49}$

    La loi de probabilité de $X$ est donc :

    $X =$ 0 1 2
    $P(X=k)$ $ \dfrac{16}{49}$ $\dfrac{24}{49}$ $\dfrac{9}{49}$

    On peut aussi remarquer que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p = \dfrac{4}{7}$

  • Question 2

    En déduire l'espérance et la variance de $X$.

  • Question 3

    On répète alors $n$ fois l'expérience précédente et on note $X_k$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées lors du $k$-ième tirage. 
    On pose $M_n = \dfrac{X_1+...+X_n}{n}$.
    Que représente $M_n$ ? 

  • Question 4

    Justifier que pour tout nombre réel positif $\delta$,
    $P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq \delta \right ) \leq \dfrac{24}{49n\delta^2}$

  • Question 5

    Déterminer $n$ tel que $P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq 0.05 \right ) \leq 0.1$

  • Question 6

    Calculer $\lim \limits_{n \to +\infty} P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq 0.05 \right )$. Interpréter. 

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