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STAGE - LOI DES GRANDS NOMBRES

Exercice - Loi faible des grands nombres



L'énoncé

- Répondre aux questions suivantes


  • Question 1

    On considère une urne dans laquelle ont été disposées 4 boules bleues et 3 boules jaunes. On tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l'urne. 
    On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules bleues sorties. 
    Donner la loi de probabilité de $X$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 

  • Question 2

    En déduire l'espérance et la variance de $X$.

  • Question 3

    On répète alors $n$ fois l'expérience précédente et on note $X_k$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées lors du $k$-ième tirage. 
    On pose $M_n = \dfrac{X_1+...+X_n}{n}$.
    Que représente $M_n$ ? 

  • Question 4

    Justifier que pour tout nombre réel positif $\delta$,
    $P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq \delta \right ) \leq \dfrac{24}{49n\delta^2}$

  • Question 5

    Déterminer $n$ tel que $P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq 0.05 \right ) \leq 0.1$

  • Question 6

    Calculer $\lim \limits_{n \to +\infty} P \left(\left |M_n - \dfrac{8}{7} \right | \geq 0.05 \right )$. Interpréter. 

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