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STAGE - LOGARITHME NÉPÉRIEN, PROPRIÉTÉS, ÉQUATIONS

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Propriétés algébriques

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La fonction logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0;+\infty[\) tel que

\(f(1)=0\) et \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)

\(\ln\) est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) qui s'annule en 1.

 

Propriétés algébriques


Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ :

$\ln (xy)= \ln x+\ln y$

$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{1}{x}) = -\ln x$

$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{x}{y}) = \ln x-\ln y$

$\displaystyle \ln ( x^n) = n \ln x$ avec n $\epsilon$ $\mathbb{Z}$

Exemple :

Réduire : $A=\ln8-3\ln16$  et  $B$= $\displaystyle \frac{4\ln9+5\ln27}{\ln3}$.

étape 1: On réécrit l'expression $A$ pour faire apparaître $\ln 2$.

$A=\ln 2^3-3\ln 2^4$

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l'expression :

$\displaystyle \ln (x^n)=n\ln x$ avec $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$.

$A=3\ln 2-12\ln 2$

$A=-9\ln 2$

étape 3: On réécrit l'expression $B$ pour faire apparaître $\ln 3$.

$B$= $\displaystyle \frac{4\ln 3^2+5\ln 3^3}{\ln 3}$

étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l'expression :

$\displaystyle \ln (x^n)=n\ln x$ avec $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$.

$B$= $\displaystyle \frac{8\ln 3+15\ln 3}{\ln 3}$

On factorise par $\ln 3$ pour finir le calcul.

$B$= $\displaystyle \frac{23\ln 3}{\ln 3}$

$B$= 23

 


Autre exemple :

Simplifier : $C$= $\displaystyle \ln (x+3)+\ln 2-2\ln (x+1)$ en précisant l'intervalle d'étude.

étape 1 : On précise l'ensemble de définition de l'expression.

$x$ doit vérifier $x+3>0$ et $x+1>0$, c'est-à-dire :

$x>-3$ et $x>-1$.

La condition finale est donc: $x>-1$.

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l'expression :

  • $ \ln (xy)=\ln x+\ln y$,
  • $\ln (\displaystyle\frac{x}{y})=\ln x-\ln y$
  • $\ln (x^n)=n\ln x$ avec $n \in \mathbb{Z}$

Ainsi,

$C$= $\displaystyle \ln (2x+6)-\ln (x+1)^2$

$C$= $\displaystyle \ln {\frac{2x+6}{(x+1)^2}}$