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EQUATIONS, INÉQUATIONS

Exercice - Exponentielle et suite



L'énoncé

La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction \(f\) du temps \(t\).
La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^+\) par :
\[f(t) = 200e^{-\frac{t}{2}}+20\] La température est exprimée en degrés Celsius (°\(C\)) et le temps \(t\) en heures.

  • Question 1 On note \(C\) la représentation graphique de \(f\) dans le plan muni dun repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.

    Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^+\).
  • Question 2

    Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
    En déduire l'existence dune asymptote \(D\) à la courbe \(C\) en \(+\infty\).

  • Question 3 Construire \(C\) et \(D\) sur lintervalle \([0; 7]\).
  • Question 4

    Partie B
    On considère la suite de terme général \(d_n = f(n)-f(n+1)\) où \(n \in \mathrm{N}\).
    \(d_n\) représente l'abaissement de la température de l'objet entre l'heure \(n\) et l'heure \(n + 1\).
    Calculer des valeurs approchées au dixième de \(d_0, \, d_1\) et \(d_2\).

  • Question 5

    Quelle est la limite de \(d_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) ?

  • Question 6

    Déterminer la plus petite valeur de l'entier \(n\) à partir de laquelle l'abaissement de la température est inférieur à 5°\(C\).

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