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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Fonctions composées - exp(u(x))

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Fonctions composées


Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée

$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.


Exemple


Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.

Déterminons sa dérivée.

On pose : $u(x)= -3x^2+x$.

On a donc : $u'(x)=-6x+1$.

On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.

Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.

 

Autre exemple

Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $\displaystyle \frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.

 

étape 1 : On cherche toujours l'ensemble de définition d'une fonction.

$Df= \mathbb{R} $ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$, c'est toujours positif.

 


étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l'ensemble de définition : en $+\infty$ et en $-\infty$.

On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l'indétermination.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x\times 3}{e^{x}(e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}})}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

 

étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On utilise la formule suivante :

$\displaystyle (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

$\displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x \hspace{0.2cm} \text{et} \hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$


On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$.

Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$.

On a : 

$(1-e^x)\geq 0 \iff 1\geq e^x \iff  0\geq x$

On en déduit le tableau de variations : 

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