Dérivées de fonctions trigonométriques

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

 

Propriétés

 

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(ax+b))’=-a\sin(ax+b)$

$(\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)$

 

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(x))’=-\sin(x) $

$(\sin(x))’=\cos(x) $

 

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ 

2) $g(x) = \dfrac{\sin(3-2x)}{2}$ sur $\mathbb{R}$

3) $k(x)= \sin(x)\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

 

Correction

1) $f$ est dérivable sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ avec $\cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=\sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$ de sorte que $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=\cos(x)$ et $v'(x)=-\sin(x)$  et pour tout $x\in \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ : 

$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

 

2) Pour $x\in\mathbb{R}$ :

$ g'(x)  = -2\cos(3-2x)\times \dfrac12$

soit $ g'(x)  = -\cos(3-2x)$

 

 

3) $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=\sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.

Ainsi, pour $x\in\mathbb{R}$ :

$ k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$ k'(x)=-\sin^2(x)+\cos^2(x) $

$ k'(x)= 2\cos^2(x)-1$

$ k'(x)=\cos(2x)$

Inéquations trigonométriques

Inéquations trigonométriques

 

Résolution graphique

 

On souhaite résoudre sur $[0,2\pi]$ l’inéquation suivante : $\cos(x)\leqslant \dfrac12$.

On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$ et $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$.

Ici, on veut résoudre l’équation sur $[0,2\pi]$ donc on écrit

$-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi= \dfrac{5\pi}{3}$ $[2\pi]$.

 

 

On constate alors que tous les $x$ compris dans la zone surlignée en rouge ont un cosinus inférieur à $\dfrac12$.

 

inequation_trigo_cosinus

Ensemble de solutions

 

On peut alors simplement donner l’ensemble de solutions de l’inéquation de départ :

$ \mathcal{S}= \left[ \dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3} \right]$

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