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EQUATION CARTÉSIENNE D'UN PLAN, SPHÈRE

Exercice - Droites et plans de l'espace



L'énoncé

VRAI ou FAUX. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.

L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O ; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k} )\)


  • Question 1

    La droite $D$ de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = t+2\\ y = -2t\\ z = 3t-1\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\) est parallèle au plan \(P\) dont une équation cartésienne est : \(x + 2 y + z -3 = 0\).

  • Question 2

    Les plans \(P\), \(P'\), \(P"\) d'équations respectives :
    \(x - 2 y + 3 z = 3\),
    \(2 x + 3 y - 2 z = 6\) et
    \(4 x - y + 4 z =12\) n'ont pas de point commun.

  • Question 3

    Les droites $D$ et $\Delta$ de représentations paramétriques respectives \(\left\{ \begin{array}{left} x = 2-3t\\ y = 1+t\\ z = -3+2t\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\) et \(\left\{ \begin{array}{left} x = 7+2u\\ y = 2+2u\\ z = -6-u\\ \end{array}\right. \) avec \(u \in \mathbb{R}\) sont sécantes.

  • Question 4

    On considère les points \(A( 1; 0; 2)\), \(B(1; 4; 0)\), et \(C(3; 4; 2)\).
    Le plan \((ABC)\) a pour équation \(x + z = 1\).

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