Asymptotes

Asymptotes à une courbe

 

Asymptotes horizontales :

 

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = l\)

alors \(y = l\) est une asymptote de \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\).

 

Asymptotes verticales :

 

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\)

alors \(x = a\) est une asymptote de \(C_f\) au voisinage de \(a\).

 

Asymptotes obliques (N’est plus au programme depuis 2012) :

 

Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) – (ax + b) = 0\)

alors la droite d’équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\).

Asymptotes - Exercice

Soient

\(f(x) = \frac{2}{x+3}\) et \(\Delta  : x = -3\)

\(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} – 2\) et \(\Delta’  : y = -2\)

\(h(x) = 2x – 7 + \frac{1}{x}\) et \(\Delta”  : y = 2x – 7\)

Étudions le comportement de chaque courbe par rapport à \(\Delta\), \(\Delta’\) et \(\Delta”\).

Ce qu’il faut savoir faire :

  • Étape 1 : Pour l’asymptote verticale, on calcule la limite quand \(x\) tend vers \(-3\).
  • Étape 2 : Pour l’asymptote horizontale, on calcule la limite quand \(x\) tend vers \(+/- \infty\). Elle doit être égale à \(-2\).
  • Étape 3 : Pour l’asymptote oblique, on calcule la limite en l’infini de la différence entre \(h\) et \(\triangle\). Elle doit être égale à \(0\). (N’est plus au programme 2012-2013.)

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