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STAGE - LIMITES DE FONCTIONS

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Limite d'une fonction en l'infini

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Limite d'une fonction au voisinage de l'infini


Définitions

$\bullet$ Une fonction $f$ tend vers un réel $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si, pour tout intervalle ouvert centré en $l$, il existe un réel $x_0$ tel que si $x\geqslant {x_0}$, alors $f(x)$ appartient à cet intervalle.

On notera $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = \ell$.

$\bullet$ Dans ce cas la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.

Ces définitions sont de même nature au voisinage de $-\infty$.

 

Limite au voisinage de $+\infty$

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La fonction dont la courbe est en vert tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est grand, plus la valeur de $f(x)$ augmente sans que les valeurs de $f$ soient plafonnées.

  

La fonction dont la courbe est en rouge tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est grand, plus la valeur de $f(x)$ diminue.

 

La fonction dont la courbe est en orange tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est grand, plus la valeur de $f(x)$ se rapproche de $1$.

Ici la droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de $+\infty$.

 

Limite au voisinage de $-\infty$

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La fonction dont la courbe est en vert tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est petit, plus la valeur de $f(x)$ augmente.

 

La fonction dont la courbe est en bleu tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est petit, plus la valeur de $f(x)$ diminue.

 

La fonction dont la courbe est en rouge tend vers $-2$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

En effet, on remarque que plus $x$ est petit, plus la valeur de $f(x)$ se rapproche de $-2$.

La droite d'équation $y=-2$ est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de $-\infty$.

 

Exemple de fonctions n'ayant pas de limite

Certaines fonctions n'ont pas de limite en $+\infty$ ou en $-\infty$, par exemple parce qu'elles oscillent.

La fonction cosinus en marron est un exemple de ce genre de fonctions :

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Le plus des Bons Profs

Un moyen de conjecturer la limite d'une fonction en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$) est de calculer $f$ au point $x=1 000$ (respectivement $x=-1000$) ou, si cela n'est pas suffisant, au point $x=1 000 000$ (respectivement $x=-1 000 000$).