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ANNALE - PROBABILITÉS ET FONCTION LN

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Variable aléatoire

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Variable aléatoire

 

Définition :

On appelle variable aléatoire toute grandeur numérique qui dépend des résultats d'une expérience aléatoire


Soit $X$ une variable aléatoire prenant comme valeurs $x_1, x_2,..., x_n$,
La loi de probabilité de $X$ est la donnée de ce tableau:

Valeurs $x_1$ $x_2$ ... $x_n$
Probabilités $p(X=x_1)$ $p(X=x_2)$  ... $p(X=x_n)$

 

Ce tableau contient sur la première ligne toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire et sur la seconde les probabilités correspondantes

La somme de toutes les probabilités vaut 1.

 

Exemple :

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. 

Les issues possibles, c'est à dire l'univers, sont $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$. 

Chacune de ces issues possède une probabilité de réalisation de $\dfrac{1}{4}$. 

Selon le côté de la pièce, les gains varient:

+2€ si PILE apparait 

-1€ si FACE apparait

On pose alors $X =$ le gain du joueur.

On cherche à établir la loi de probabilité de $X$.


On commence donc par trouver toutes les valeurs possibles de $X$ :

$PP \to +2 +2 = +4$€

$PF \to -1 + 2 = +1$€

$FP \to +2 - 1 = +1$€

$FF \to -1 - 1 = -2$€

Ainsi les valeurs de $X$ sont $+4, +1, -2$.

Calculons par exemple $p(X = 1)$: il s'agit de la probabilité d'obtenir 1€.

Ainsi, $p(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$.

 

La loi de probabilité de $X$ est donc :

Valeurs $4$ $1$ $-2$
Probabilités $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{4}$