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INTERVALLE DE FLUCTUATION, ESTIMATION

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Intervalle de fluctuation

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Intervalle de fluctuation

 

Définition

 

Soit $X_n$ la variable aléatoire qui à un échantillon de taille $n$ associe le nombre d'individus présentant le caractère $C$ de proportion $p$ dans la population totale.

$X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n;p)$.

Soit $\alpha \in ]0;1[$. On rappelle que l'on note $U_\alpha$ le réel défini par l'égalité $P(-U_\alpha\leqslant X\leqslant U_\alpha)=1-\alpha$ lorsque $X$ est une variable aléatoire suivant la loi $ \mathcal{N} (0;1)$.

Si cet échantillon de taille $n$ vérifie :

  • $n\geqslant 30$
  • $np \geqslant 5$ et
  • $n(1-p)\geqslant 5$

Alors l'intervalle $I_n$ défini par : \( \displaystyle I_n=\left[p-U_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+U_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]
\) se nomme l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$.

 

Signification :

Dans une population de taille $n$, la fréquence du caractère $C$ appartient à $I_n$ avec une probabilité égale à $1-\alpha$.

On a : \( \displaystyle \lim \limits _{n \to +\infty}P\left( \frac{X}{n} \in I_n\right)=1-\alpha\)

 

Exemple :

1) On a un groupe de 150 personnes ($n=150$). On s'intéresse à la proportion de garçons dans ce groupe.

Quel est l'intervalle de fluctuation de la proportion de garçons au seuil de $95\%$ ?

 

 

Correction

La probabilité théorique d'avoir un garçon est $p=\displaystyle\frac{1}{2}$.

Etape 1: La variable aléatoire $X$ égale au nombre de garçons suit la loi binomiale $\mathcal{B} \left(150;\displaystyle\frac{1}{2}\right)$.

Etape 2: On vérifie toutes les conditions :

  • la taille de l'échantillon $n=150$ est supérieure à $30$,
  • $np=75 (\geqslant 5)$ et
  • $n(1-p)=75 (\geqslant 5)$.

On fixe le risque $\alpha$ à $0,05$ et on détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95.

On sait que $U_{0.05}=1.96$ donc :

\( \displaystyle I_f=\left[\frac{1}{2}-1,96\frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}}{\sqrt{150}}; \frac{1}{2}+1,96\frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}}{\sqrt{150}}\right]\)

\( \displaystyle I_f=[0,42;0,58] \) au seuil de $95\%$.

Avec un échantillon de $150$ personnes, la fréquence de garçons est comprise entre $0,42$ et $0,58$ avec une probabilité de $95\%$.

Ou encore, dans 95% des cas, la fréquence de garçons dans ce groupe sera comprise entre $42\%$ et $58\%$.