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ANNALE - LOI BINOMIALE, LOI UNIFORME, LOI NORMALE

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Loi uniforme sur [a ; b]

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Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$



Définition

 

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}\).

On vérifie que  \( \displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1\).

 

Propriétés

 

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

\( \displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a}\).

 

loi-uniforme

Exemple


1) On choisit un nombre réel au hasard dans l'intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $\pi$ ? 

 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < X\leq 5)=\displaystyle\frac{5-4}{ 5-0}=\displaystyle\frac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $\pi$ est :

$\displaystyle P(e \leqslant X \leqslant \pi) = \frac{\pi - e}{5-0} \approx 0, 085$

 

Espérance mathématique - Propriétés

 

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

\( \displaystyle E(X)=\int \limits_a^{b}tf(t)dt= \int \limits_a^{b}t\times \frac{1}{b-a}dt \)

Soit après calcul :

\( \displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}\).

 

Remarque :

Dans l'exercice précédent, on trouve : $E(X) =\displaystyle \frac{0+5}{2}= 2,5$.