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ANNALE - LOI NORMALE ET INTERVALLE DE FLUCTUATION

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Loi normale N

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La loi normale $\mathcal N$ d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$

 

Définition

 

Si $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ notée $\mathcal N (\mu;\sigma^2)$ alors la variable aléatoire \( \displaystyle Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\) suit une loi normale réduite et centrée $\mathcal N (0;1)$.

On notera $Y \sim \mathcal{N} (0;1)$.

 

Propriétés



Si une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N} (\mu, \sigma^2$) alors
son espérance vaut

$E(X)=\mu$

et sa variance vaut $V(X)=\sigma^2$ avec $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Voici par exemple la représentation graphique de la loi normale $\mathcal{N} (7, 4)$

 

loi-normale

Exemple

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N} (7;4)$.

Calculer à l'aide de la calculatrice \( \displaystyle P(6 \leqslant X \leqslant 10)\).

 

Correction

Ici on a : $\mu=7$ et $\sigma=\sqrt4=2$.

En utilisant la calculatrice, on obtient : \( \displaystyle P(6 \leqslant X \leqslant 10)= 0,625\).

 

On peut aussi procéder à un changement de variable :

On pose $Y=\displaystyle \frac{X-7}{\sqrt{4}}$.

Alors $Y=\displaystyle \frac{X-7}{\sqrt{4}} \sim \mathcal{N} (0;1).$

\( \displaystyle P(6 \leqslant X \leqslant 10)= \displaystyle P(-\frac{1}{2} \leqslant \frac{X-7}{2} \leqslant \frac{3}{2})= \displaystyle P(-\frac{1}{2} \leqslant Y \leqslant \frac{3}{2})\)

Or en utilisant la loi normale centrée et réduite, on a :

\(\displaystyle P(-\frac{1}{2} \leqslant Y \leqslant \frac{3}{2})= 0,625\)

On retrouve bien les mêmes résultats.