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STAGE - NOMBRES COMPLEXES, CONJUGUÉS, ÉQUATIONS

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Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires

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Egalité de complexes, conjugués, opérations élémentaires

 

Egalité de nombres complexes

On dit que deux nombres complexes $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ sont égaux si et seulement si $a=a'$ et $b=b'$.

 

Opérations élémentaires

Les opérations de sommes, différences, multiplications et divisions existent dans $\mathbb{C}$.

Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes alors :

 

$\bullet$ $z+z' = (a+a')+i (b+b')$

 

$\bullet$ $z\cdot z' = (a+ib)\cdot (a'+ib') = (aa'-bb') + i (a'b+ab')$

 

Conjugué d'un nombre complexe

On considère un nombre complexe quelconque $z=a+ib$ avec $a\in \mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$.

On appelle conjugué de $z$ et on note $\bar z$ le nombre $a-ib$.

Exemple : si $z=1,5+i$ alors $\bar z = 1,5-i$.

  

Illustration graphique

--35

Le point $A'$ d'affixe $\bar z$ est le symétrique du point $A$ d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses

 

Propriétés des conjugués 

si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes (avec $z'$ non nul), alors :

$\bullet $ $\overline{z+z'} = \bar z + \bar{z'}$

$\bullet $ $\overline{zz'} = \bar z \cdot \bar z'$


$\bullet$ $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar z}{\bar{z'}}$