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STAGE - NOMBRES COMPLEXES, CONJUGUÉS, ÉQUATIONS

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Equations et nombres complexes

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Résolution d'équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d'équations du premier degré avec solutions complexes :

 $\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

 $\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l'équation $(E) : z-\bar z+i=0$.

 

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l'équation $(E)$ :

$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s'écrivant :

$z=a-\dfrac12 i$, avec $a$ réel. 

 


Equations du second degré

La forme générale d'une équation du second degré est la suivante :

$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d'une équation du second degré avec des réels, c'est-à-dire qu'il s'agit de calculer le discriminant de l'équation :

$\Delta=b^2-4ac$

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

$\bullet$ Si $\Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

$\bullet$ Si $\Delta=0$, la solution est $z_0=-\dfrac{b}{2a}$.

$\bullet$ Si $\Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

 

Exemple

Trouver les solutions de l'équation : $(F) : z^2+4z+\dfrac{25}{4}=0$.

On a $\Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :

$z_1=\dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=\dfrac{-4-3i}{2}$.