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STAGE - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Y' = F(X)

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Équations différentielles, y'=f(x). Non unicité des primitives, démonstration.

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Équations différentielles $y' = f(x)$. Non unicité des primitives

 

Propriété

 

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

En d'autres termes, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$ quelconque, alors

$F = G + C$ où $C$ est une constante, ou encore $F - G = C$. 

 

Démonstration


On pose $H(x) = F(x) - G(x)$ pour $x \in I$

On veut démontrer que $H$ est une constante.

L'idée de la démonstration consiste à dériver $H$ car on connait la dérivée de $F$ et $G$ : $F' = G' = f$ par définition d'une pri

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