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STAGE - INDÉPENDANCE

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Indépendance et évènement contraire

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Indépendance et évènement contraire 

 

Théorème :

 

Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $\Omega$,

Alors $\overline{A}$ est indépendant de $B$. 

(De même, $\overline{A}$ est indépendant de $\overline{B}$ et $A$ est indépendant de $\overline{B}$) 

La démonstration est à connaitre.

 

Démonstration :

Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $\Omega$,

$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$.

En effet, $A \cup \overline{A} = \Omega$ et $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints (ils n'ont pas de partie commune).

Ainsi, $B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A})$ d'après la formule des probabilités totales.

En outre, $(B \cap A)$ et $(B \cap \overline{A})$ sont incompatibles (l'intersection des deux évènement est nulle).

Donc $p(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A})$.

Ainsi, $p(B \cap \overline{A}) =P(B) - P(B \cap A) $.

Or $A$ et $B$ sont deux évènement indépendants de $\Omega$, c'est à dire $ P(B \cap A) = P(B) \times P(A)$.

Ainsi, $P(B \cap \overline{A}) =P(B) - P(B \cap A) = P(B) - P(B) \times P(A) = P(B)(1-P(A))$.

Or par définition, $(1-P(A)) = P(\overline{A})$.

Ainsi, $P(B \cap \overline{A}) = P(B)\times P(\overline{A})$