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VARIABLE ALÉATOIRE, ESPÉRANCE

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Espérance de la variable aléatoire

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Espérance de la variable aléatoire


Définition

 

Soit $X$ une variable aléatoire et sa loi de probabilité :

--41

On appelle espérance de la variable aléatoire $X$, le nombre $E(X)$:

$E(X)=x_1 \times p_1+x_2 \times p_2+\ldots+x_n \times p_n$

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$

Exemple

Calculer l'espérance de $X$

--42

$E(X)= -2 \times 0,2 + 3\times 0,3 + 5 \times 0,5 $

$E(X)=3$


Interprétation de l'espérance

L'espérance de $X$ représente la valeur moyenne de $X$ : c'est celle que l'on peut espérer obtenir en répétant un grand nombre de fois l'expérience.

Exemple

On lance une pièce truquée : la probabilité d'obtenir pile est de $0,6$.

  • Si on obtient pile, on perd 1 euro.
  • Si on obtient face , on gagne 2 euros.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain du joueur.  Déterminer interpréter son espérance.

 

étape 1: Loi de probabilité de $X$ :

--43

étape 2: Calcul de l'espérance :

$E(X)= -1 \times 0,6 + 2 \times 0,4 $

$E(X)= 0,2$

étape 3: Interprétation de l'espérance.

En répétant un grand nombre de fois l'expérience, on peut espérer avoir un gain moyen de 0,2 soit 20 centimes d'euros par lancer.