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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Suites et probabilités

L'énoncé

On considère plusieurs sacs de billes $S_1$, $S_2$, ..., $S_n$, ... tels que :
– le premier, $S_1$, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
– chacun des suivants, $S_2$, $S_3$, ..., $S_n$, ... contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
– on tire au hasard une bille dans $S_1$;
– on place la bille tirée de $S_1$ dans $S_2$, puis on tire au hasard une bille dans $S_2$;
– on place la bille tirée de $S_2$ dans $S_3$, puis on tire au hasard une bille dans $S_3$;
– etc.

Pour tout entier $n \geq 1$, on note $E_n$ l’évènement : «la bille tirée dans $S_n$ est verte» et on note $P(E_n)$ sa probabilité.

Question 1 -
D'après l'énoncé, donner les valeurs de $P(E_1)$, $P_{E_1}(E_2)$, $P_\overline{{E_1}}(E_2)$.
En déduire la valeur de $P(E_2)$.

Astuces

Correction
Question 2 -
À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $P(E_{n+1})$ en fonction de $P(E_n)$.

Astuces

Correction
Question 3 -
Étude dune suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$\left\{\begin{array}{left}u_1 = \dfrac{2}{5} \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{5} u_n +\dfrac{2}{5} \, pour \, tout \, n \geq 1 \end{array}\right.$

Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $\dfrac{1}{2}.$

Astuces

Correction
Question 4 -
Démontrer que $(u_n)$ est croissante.

Astuces

Correction
Question 5 -
Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

Astuces

Correction
Question 6 -
Sachant que $P(E_n) = u_n$ et à l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités $P(E_n)$.

Astuces

Correction
Question 7 -
Montrer que la suite $V$ définie par : $V_n = u_n -0,5$ est une suite géométrique.

Astuces

Correction
Question 8 -
Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a : $0,499 99 \leq P(E_n) \leq 0,5$

Astuces

Correction

L'incontournable du chapitre
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