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RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE

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Contre-exemple

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Contre-exemple

 

Définition

 

Un contre-exemple est un exemple qui contredit une affirmation ou une proposition

 

Remarques

Un contre exemple sert à prouver qu'une proposition est fausse.

Pour prouver qu'une proposition est vraie, donner un exemple ne permet pas de démontrer la proposition. 

En revanche, il suffit qu'une proposition soit fausse une fois pour qu'elle soit fausse tout le temps. Une proposition peut être soit vraie soit fausse. 

Un seul contre-exemple suffit donc à montrer qu'une proposition est fausse.

 

Exemples

Considérons en guise d'exemples les deux propositions qui suivent.

 

1) "Tous les nombres impairs supérieur à 101 sont des nombres premiers."

Pour rappel, un nombre premier est un nombre qui est divisible uniquement par 1 et par lui même, comme 13 par exemple alors que 15 ne l'est pas (car divisible par 3 par exemple). 

Pour prouver que la proposition est fausse, on cherche un nombre impair supérieur à 101 qui n'est pas premier.

Regardons par exemple 105.

105 est un nombre impair, divisible par 5. Il n'est donc pas premier mais est supérieur à 101.

105 est un contre-exemple : La proposition est donc fausse. 

 

2)  "Si $x^2 > 9$ alors $x > 3$".

Regardons par exemple le nombre $x = -4$.

On a $x^2 = (-4)^2 = 16 > 9$ mais $ x = -4 < 3$.

$-4$ est un contre-exemple et la proposition est donc fausse.