L’incontournable du chapitre

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l’espace

 

Rappel : Vecteurs colinéaires

 

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{v}$.

Exemple :

 vecyteurs-colineaires

Propriétés

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ colinéaires et non nuls ont la même direction.

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

 

Exemple

Les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;3;1)$ et $\overrightarrow{v}(-6;9;-3)$ sont colinéaires car $\overrightarrow{v}=-3\times\overrightarrow{u}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ et $\overrightarrow{v}(4;-6;-2)$ ne sont pas colinéaires car

$2\times 2=4$   ;   $2\times(-3)=-6$    mais   $2\times 1\neq -2$.

 

Produit scalaire, Définition

 

Dans l’espace, une unité de longueur étant choisie, on a pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v} ||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} ||^2)$.

Coordonnées

 

On considère les deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x;y;z)$ et $\overrightarrow{v}(x’;y’;z’)$, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ est le réel :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’$.

 

Théorème

 

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls et trois points $O$, $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires,

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux : on notera $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$.

vecteurs-orthogonaux

 

Exemple

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(1;3;1)$ et $\overrightarrow{v}(4;1;-7)$.

Sont-ils orthogonaux ?

 

Correction

On calcule leur produit scalaire :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times 4+3\times1+1\times (-7)=0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux car leur produit scalaire est nul.

Équation paramétrique d'une droite

Système d’équations paramétriques d’une droite

 

Définition

 

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(\alpha;\beta;\gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$.

On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite $D$:

\(D\left\{ \begin{array}{ll}x-x_A=k\alpha \\y-y_A=k\beta  \\z-z_A=k\gamma\end{array} \right. \)      avec $k \in \mathbb{R}$

 

 

Exemple

Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, avec $\overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$.

Donner un système d’équations paramétriques de $\Delta$

 

Correction

On définit un système d’équations paramétriques de $\Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$.

\(\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x-3=k(-2)  \\y-4=-k  \\z+5=3k\end{array} \right. \)      avec $k \in \mathbb{R}$

$\iff$ \(\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x=3-2k  \\y=-k+4  \\z=3k-5\end{array} \right. \)     avec $k \in \mathbb{R}$

 

Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d’un plan

 

Définition

 

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$\mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

 

Propriété

 

Tout plan $\mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $\overrightarrow{n}(a;b;c)$.

La réciproque est vraie.

equation-cartesienne-plan

 

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

2) Soit $\mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.

Déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

 

Correction

  • 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$.

On a: $\mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.

  • Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

  • Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.

$d=-5$

On conclut que: $\mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$.

 

  • 2) Etape 1 : On définit un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$\overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $\overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

  • Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P} $, on remplace : $2-8+6z-9=0$. $z=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$

On a alors : $A\left(1;2;\dfrac{5}{2}\right)$

Distance d'un point à un plan / à une droite

Ces notions ne sont pas exigibles au programme :

– Soient le plan \(P\) d’équation \(ax + by + cz + d = 0\) et un point \(A (x_A; y_A; z_A)\).

La distance du point au plan se calcule par :

\(D(A, P) = AH = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

– La distance du point $A$ à une droite \(\Delta\) est la distance \(AH\) telle que :

\( \left\{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \\ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} \right. \)

$\overrightarrow{u}$ étant une vecteur directeur de la droite$\Delta$

Projection orthogonale

Projection orthogonale dans l’espace

 

Sur un plan : définition

 

Le projeté d’un point \(A\) sur un plan est le point \(H\) du plan tel que \(\overrightarrow{AH}\) est orthogonal au plan.

projection-orthogonale-plan

 

Sur une droite : définition

Le projeté orthogonal d’un point \(A\) sur une droite \(\Delta\) est le point \(H\) vérifiant :

\( \left\{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \\ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} \right. \)

où \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(\Delta\).

projection-orthogonale-droite

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