ANNALE - CUBES ET TÉTRAÈDRES

Espace, droites et plans

Définitions

Une droite de l'espace peut être définie par :

• deux points ou
• un point et un vecteur directeur.

Un plan peut être défini par :

• trois points non alignés

• Une droite et un point extérieur à la droite

• Deux vecteurs non colinéaires et un point
  
  

Repères et coordonnées

Définition

On appelle repère de l'espace tout quadruplet $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) $ constitué d'un point $O$ de l'espace et de trois vecteurs non coplanaires.

On note $(Ox)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{i}$, $(Oy)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l'axe dirigé par $\overrightarrow{k}$.

Lorsque les droites $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus $||\overrightarrow{\imath}||=||\overrightarrow{\jmath}||=||\overrightarrow{k}||=1$, le repère est dit orthonormal.

Théorème

Soit $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}) $ un repère de l'espace. 

Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$.