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STAGE - LINÉARITÉ DE L'ESPÉRANCE

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Linéarité de l'espérance.

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Linéarité de l'espérance

 

Propriétés :


Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ et Y, les valeurs $y_i$, de probabilités $q_i$ pour $i$ variant de $1$ à $n$,

Soit $a \in \mathbb{R}$,

On a :

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$

$\mathbb{E}(aX) = a\mathbb{E}(X)$

On dit que l'espérance est linéaire. 

 

Démonstration :


Soit $a \in \mathbb{R}$,

Par définition de l'espérance mathématique,

$\mathbb{E}(X)  = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i$.

Donc

$\mathbb{E}(aX)  = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i(ax_i)$

$\mathbb{E}(aX)= a \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i $

$\mathbb{E}(aX)= a \mathbb{E}(X)$.

 

Exemple :


On place au hasard deux billes jaune et rouge dans deux boites $A$ et $B$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de billes dans la boite $A$ et $Y$ le nombre de boites vides.

On représente les quatre situations possibles.

Capture_d’écran_2020-05-10_à_12.29.54

Dans la boite $A$, il peut y avoir $0$, $1$ ou $2$ billes. On peut alors compléter le tableau suivant.

$x_i$ 0 1 2
$p_i$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{4}$

On peut alors calculer l'espérance de $X$ :

$\mathbb{E}(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} $

$\mathbb{E}(X) = 1$.

Cela signifie qu'en moyenne il y a une bille dans la boite $A$. 

 

Il peut y avoir une boite vide ou aucune des deux boites. 

$y_i$ 0 1
$q_i$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{2}$

$\mathbb{E}(Y) = 0 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{2} $

$\mathbb{E}(Y) = \dfrac{1}{2} $. 

D'après la propriété du cours, on a

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) $

$\mathbb{E}(X + Y) = 1 + \dfrac{1}{2} $

$\mathbb{E}(X + Y) = \dfrac{3}{2}$.