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SUITES CONVERGENTES

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Convergence des suites - Exercice

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Soit \(U_0 = 0\) et \(U_{n+1} = \sqrt{3U_n + 4}\).

1) Démontrer que \(U_n\) est majorée par 4.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que \(U_n\) est majorée par 4.

  • Étape 1 : Initialisation. On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici \(U_0\).
  • Étape 2 : Hérédité. On pose l'hypothèse que \(U_n\) est inférieure ou égale à 4.
  • Étape 3 : On part de cette inégalité pour retrouver \(U_{n+1}\).

2) Démontrer que \(U_n\) est croissante.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que \(U_n\) est croissante.

  • Étape 4 : Initialisation. On calcule \(U_0\) et \(U_1\) pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.
  • Étape 5 : Hérédité. On pose l'hypothèse qu'à un rang \(n\) la suite est croissante (\(U_n\) inférieure ou égale à \(U_{n+1}\).
  • Étape 6 : On part de l'inégalité \(U_n \leq U_{n+1}\) pour retrouver \(U_{n+1}\) et \(U_{n+2}\).

3) La suite converge-t-elle ?

D'après le cours, une suite croissante et majorée converge.