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ANNALE - SUITE ET RÉCURRENCE (MOYEN)

Exercice d'application


Annales

  • Exercice - Annale Bac

    Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à $10 000$ le nombre de ses abeilles. Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd $20$ % des abeilles de l’année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année.

    On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers.

    On note $u_0$ le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.

    Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année.

    Ainsi, on a $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8u_n +c$.

     

    Partie A

    On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

    1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite ($u_n$).

    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 5−4\times 0,8^n$ .

    3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats.

     

    Partie B

    L’apiculteur souhaite que le nombre d’abeilles tende vers $100 000$. On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d’atteindre cet objectif.

    On définit la suite ($v_n$) par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n −5c$.

    1. Montrer que la suite ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. En déduire une expression du terme général de la suite ($v_n$)en fonction de $n$.

    3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l’apiculteur atteigne son objectif.

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