Terminale > Mathématiques > Suites > Stage - suites géométriques

STAGE - SUITES GÉOMÉTRIQUES

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Comportement asymptotique d'une suite géométrique

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Comportement asymptotique d'une suite géométrique

 

I) Inégalité de Bernoulli 

 

Enoncé : 

Pour tout réel $a$ positif, 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$(1+a)^n \geq 1 +na$

Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l'aide du principe de récurrence.

 

Démonstration :

Soit $a \in \mathbb{R}_+$,

Initialisation :

On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.

Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition. 

Or $1 \geq 1$ donc $(1+a)^0 \geq 1 + 0 \times a$

La propriété est donc initialisée.

Hérédité :

Soit $n \in \mathbb{N}$,

On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.

Cela signifie donc que $(1+a)^n \geq 1 + na$ (c'est l'hypothèse de récurrence).

Alors $(1 + a)^{n+1} \geq (1+a)(1+a)^n$.

Or on sait d'après l'hypothèse de récurrence que :

$(1+a)^n \geq 1 + na$ , c'est à dire :

$(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1 + na)$ car $(1 + a) > 0$.

En outre,

$(1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$.

Or $na^2 \geq 0$ donc,

$1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$.

Finalement, on vient de montrer que :

$(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$.

La propriété est donc vraie au rang $(n+1)$.

D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $ n \in \mathbb{N}$.

Ainsi, Pour tout réel $a$ positif, Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 +na$

 

II) Limite de $q^n$ lorsque $n \to +\infty$

 

On distingue différents cas selon la valeur de $q$.

  • Si $q > 1$

On pose alors $a = q  - 1 >0$, donc $q = 1 +a $.

Ainsi, pour $n \in \mathbb{N}$, $q^n =(1 + a)^n \geq 1 + na$ (car $a > 0$) d'après l'inégalité de Bernoulli.

Par positivité de $a$, on sait que $\lim \limits_{n \to + \infty} ( 1 + na) = + \infty$.

Par comparaison, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$

  • Si $-1 < q < 1$

On remarque alors que $|q| < 1$.

Supposons tout d'abord que $q \neq 0$.

Dans ce cas, $\dfrac{1}{|q|} > 1$.

Par application directe du résultat précédent,

$\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{1}{|q|} \right ) ^n =\dfrac{1}{|q|^n} =  + \infty$.

Par passage à l'inverse, il vient que $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.

Enfin, lorsque $q = 0$, la suite est constamment nulle et sa limite vaut donc 0.

Ainsi, lorsque $-1 < q < 1$ , $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.

  • Si $q = 1$

Alors $q^n =1 $ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$

  • Si $q = -1$

On remarque que lorsque $n$ est pair, c'est à dire lorsqu'il s'écrit sous la forme $n = 2p$ avec $p$ un entier naturel, alors

$q^n = q^{2p} = {((-1)^2)}^p = 1^p = 1$.

Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} =1$.

De même, lorsque $n$ est impair, c'est à dire lorsqu'il s'écrit sous la forme $n = 2p + 1$ avec $p$ un entier naturel, alors

$q^n = q^{2p + 1} = {((-1)^2)}^p \times (-1) = 1^p\times (-1) = -1$.

Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =-1$.

Ainsi, comme la suite prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$, elle ne peut converger : la suite n'admet donc pas de limite. 

  • Si $q < -1$

Alors $q^2 > 1$

Ainsi, la suite $q^{2p}$, $p \in \mathbb{N}$ par application du premier cas a pour limite

$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} = +\infty$.

De même,

$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =\lim \limits_{p \to + \infty} q \times q^{2p}  =- \infty$ car $q$ est négatif.

Ainsi, comme la suite prend alternativement des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, elle ne peut converger : la suite n'admet donc pas de limite. 

 

Pour résumer :

 

  • Si $q > 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$
  • Si $-1 < q < 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$
  • Si $q = 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$
  • Si $q = -1$, $(q^n)$ n'a pas de limite, c'est une suite bornée
  • Si $q < -1$, $(q^n)$ n'a pas de limite.