STAGE - CONVERGENCE ET LIMITES DE SUITES

Etude de limite de suites du type $u_n=f(n)$

Propriété

Quand une suite $(u_n)$ est définie à partir d'une fonction dépendant de $n$ : pour tout $n\in\mathbb{N}, u_n=f(n)$ et qu'elle résulte de l'échantillonnage d'une fonction (ici $f$) ayant une limite en $+\infty$ alors la suite $(u_n)$ a une limite et elle est confondue avec celle de $f$ :

$ \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n= \lim_{x\to+\infty} f(x)$

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= e^n-n$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$

Correction

Ici, on peut introduire la fonction $f : x\mapsto e^x-x$ définie sur $\mathbb{R}$ et écrire alors la suite $(u_n)$ comme suit : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n}=f(n)$.

Avec la propriété vue ci-dessus, on cherche donc à déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Ici, on a une forme indéterminée $\infty-\infty$ car $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$ donc on va modifier l'expression de $f(x)$ en factorisant par le terme prépondérant, c'est-à-dire ici l'exponentielle.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left( 1-\dfrac{x}{e^x} \right)$.

Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0$.

Le terme entre parenthèses tend donc vers 1 et par produit de limites : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

Il en résulte donc que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$