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STAGE - VECTEURS ET BASES DE L'ESPACE

Exercice - Repère ou base de l'espace



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes 


  • Question 1

    Soient $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right )$, $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{w} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right )$ trois vecteurs de l'espace.
    Ce triplet forme-t-il une base de l'espace ? 

  • Question 2

    Décomposer le vecteur $\overrightarrow{OA} \left ( \begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right )$ dans la base ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$).

  • Question 3

    Soient $x, y, z$ trois réels,
    Soient $\overrightarrow{r} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$, $\overrightarrow{s} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{t} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right )$,
    Quelle condition doit on imposer sur $(x, y, z)$ pour que ($\overrightarrow{r}, \overrightarrow{s}, \overrightarrow{t}$) forme une base ? 

  • Question 4

    Soit $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right )$,
    Montrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal aux vecteurs $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$.

  • Question 5

    On peut montrer à l'aide de la question précédente que l'équation du plan formé par $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{s}$ est $ x - y -3z = 0$.
    Que remarque-t-on et comment l'expliquer ? 

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