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STAGE - VECTEURS ET BASES DE L'ESPACE

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Combinaisons linéaires et vecteurs de l'espace

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Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace

 

Propriété :

 

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l'espace non nuls,

On dit que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ s'il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tel que

$\overrightarrow{w}=\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont alors coplanaires, c'est à dire qu'ils appartiennent à un même plan.

 

Exercice 1

 

Soit  $ABCDEFGH$ un pavé droit et $I$ cette de $ABCD$,

On pose $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE}$

coplanaire1

Montrer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

$\begin{aligned} \overrightarrow{u}  &= 3 \overrightarrow{AB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + 3\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB} \\ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EB} +2\overrightarrow{IB} \\ &= \overrightarrow{w} - \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BD} && \text{car } I \text{ milieu de } [BD] \\ &= \overrightarrow{w} - \overrightarrow{v} \end{aligned}$

Ainsi, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

 

Exercice 2

coplanaire

Montrons que $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.

Dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$, déterminons les coordonnées des $I$, $J$ et $L$.

$I \left ( \dfrac{1}{2}; 0; 0 \right )$

$\begin{aligned} \overrightarrow{AL}  &= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IL}  \\ &=  \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IJ} \\ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IA} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ}  \\ &= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \\ &= \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AD}  \end{aligned}$

$L \left ( 0; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{4} \right )$

Calculons à présent les vecteurs $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$.

$\overrightarrow{IL} \left ( \begin{array}{c} - \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{4} \end{array} \right )$

$\overrightarrow{BC} \left ( \begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )$


$\overrightarrow{CD} \left ( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right )$ 

On peut alors remarquer que $\overrightarrow{IL} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{CD}$.

Ainsi, $\overrightarrow{IL}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.