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STAGE - RÉCIPROQUE D'UNE FONCTION

Exercice - Réciproque d'une fonction



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


  • Question 1

    Soit $f(x) = \ln(x^2-2x+3)$ définie pour tout $x \in [1; + \infty[$,
    Que vaut $f'$ ? 

  • Question 2

    Etudier le signe de $f'(x)$.

  • Question 3

    Montrer que $x^2-2x+3 \geq (x - 1)^2$ pour tout $x \in [1; +\infty[$. 

  • Question 4

    En déduire que $\lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$

  • Question 5

    Donner le tableau de variation de $f$.

  • Question 6

    Soit $x \in \mathbb{R}$,
    $(x-1)^2 + 2 = x^2 -2x + 1 + 2 = x^2-2x+3$.
    D'après la question précédente, $f$ est strictement croissante sur $[1; + \infty[$ et continue car dérivable sur cet intervalle.
    Soit $x \in [1; + \infty[$,
    On pose $y = f(x)$
    $y = \ln(x^2-2x + 3)$
    $\iff e^y = x^2-2x +3$
    $\iff e^y = (x-1)^2 + 2$
    $\iff e^y - 2 = (x-1)^2$
    $\iff \sqrt{e^y-2} = x - 1$ car on sait que $f(x) \geq \ln(3)$ pour tout $x \in [1; + \infty[$; ainsi, $e^y = e^{f(x)} \geq e^{\ln(3)} = 3$ donc $e^y-2 \geq 0$ 
    $\iff \sqrt{e^y-2}+1 = x$
    Ainsi, $g(x) = \sqrt{e^x-2}+1$

    reciproque_ex

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