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STAGE - AJUSTEMENT AFFINE PAR CHANGEMENT DE VARIABLE

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Ajustement par changement de variable

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Ajustement par changement de variable

 

Lorsque le nuage de points d'une série statistique à deux variables a une forme exponentielle, il est possible d'effectuer un changement de variable pour se ramener à une trajectoire rectiligne que l'on peut ajuster à l'aide de la méthode des moindres carrés. 

 

Méthode : 

 

On pose $z = \ln y$ et les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l'une de l'autre. Il faut cependant veiller à la positivité des valeurs pour pouvoir appliquer la fonction logarithme.

La calculatrice fournit alors l'équation de la droite de régression linéaire :

$z = ax + b$

$\iff \ln y = ax + b$

$\iff e^{\ln y} = e^{ax + b}$

$\iff y = e^{ax + b}$

 

Exemple :

On étudie le nombre de like en fonction du nombres d'abonnés sur Instagram.

nombre de like en milliers

12 36 53 62 72 80

nombres d'abonnés sur Instagram

en dizaines de milliers

20 25 31 40 68 99

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre d'abonnés que l'on pourrait obtenir si la prochaine vidéo obtenait 100 000 like.

On commence tout d'abord par tracer le nuage de points de la série statistique.

chgmt_reg_lineaire

On peut alors remarquer que la trajectoire est exponentielle.
On pose donc $z = \ln y$

CALCUL DES LN FAUX

$x_i$ 12 36 53 62 72 80
$z_i = \ln y_i$ 3 3,2 3,4 3,7 4,2 4,6

A l'aide de la calculatrice, on obtient $z = 0.02x + 2.50$ et $r \approx 0.92$.

Le coefficient de corrélation linéaire est proche de $1$ donc l'approximation par la droite de régression linéaire est pertinente.

chgmt_reg_lineaire2

Comme $z = 0.023x + 2.50$ alors $ e^{\ln y} = e^{0.023x + 2.50}$ c'est à dire $y = e^{0.023x} \times e^{2.50} \approx 12.18e^{0.023x}$.

chgmt_reg_lineaire1-2

Finalement, on cherche le nombre d'abonnés lorsque la vidéo obtient 100 000 like, c'est à dire $x = 100$ ($x$ s'exprime en milliers) : $y = 12.18e^{0.023 \times 100} = 110$.

D'après ce modèle, on obtient 1,10 millions d'abonnés.