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ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

Exercice - Équation diophantienne



L'énoncé

Répondez aux questions suivantes en soignant particulièrement la rédaction.
  • Question 1

    Quel est le reste de la division euclidienne de \(6^{10}\) par 11 ? Justifier.

  • Question 2

    Quel est le reste de la division euclidienne de \(6^4\) par 5 ? Justifier.

  • Question 3

    En déduire que \(6^{40} \equiv 1[11]\) et \(6^{40} \equiv 1[5]\).

  • Question 4

    Démontrer que \(6^{40}-1\) est divisible par 55.

  • Question 5

    Soit \(x\) et \(y\) deux entiers relatifs.
    Montrer que léquation \((E): 65x-40y=1\) na pas de solution.

  • Question 6

    Montrer que l'équation \((E) 17x-40y=1\) admet au moins une solution.

  • Question 7

    Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation \((E)\).

  • Question 8

    Résoudre l'équation \((E)\).

    En déduire qu'il existe un unique entier naturel \(x_0\) inférieur à 40 tel que \(17x_0 \equiv 1[40]\).

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