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ANNALE - ARITHMÉTIQUE ET MATRICES

Exercice d'application


Annales

  • Partie A

    On considère l’équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : $x^2 −8y^2 = 1.$       $(E)$

    1. Déterminer un couple solution $(x ; y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.

     

    2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 
     3& 8\\
    1 & 3\\
    \end{pmatrix} $   

    On définit les suites d’entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ par : $x_0 = 1, y_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$,

    $\begin{pmatrix} 
    x_{n+1}\\y_{n+1}

    \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 
    x_n\\y_n \end{pmatrix}  $ 

    a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple  $(x_n ; y_n)$ est solution de l’équation $(E)$.

    b. En admettant que la suite ($x_n$) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$.

    3. En déduire que l’équation ($E$) admet une infinité de couples solutions.

     

    Partie B

    Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, $\ \ p^2$ divise $n$.

    1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.

    L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

    2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Montrer que l’entier naturel $n = a^2b^3$ est un nombre puissant.

    3. Montrer que si $(x ; y)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 −1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.

    4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants. Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.

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