L’incontournable du chapitre

Produit de matrices

Produit de matrices

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice $(n\times p)$.

Soit $B$ une matrice $(p\times m)$.

Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

Exemple

 Soit $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2\\
\end{pmatrix} $ une matrice $(2\times 3)$ et 

$B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\
2 & 0\\
-1 & 3\\\end{pmatrix} $ une matrice $(3\times 2)$ 

On peut calculer le produit $A\times B$ des matrices de la façon suivante :

$A\times B=\begin{pmatrix}
1 \times 1+2 \times 2 – 1 \times 3 & 1 \times 4 +2 \times 0 +3 \times 3\\
1 \times 0+ 2\times (-1) +2 \times (-1) & 4 \times 0 +(-1) \times 0 +3 \times 2\\
\end{pmatrix} $ 

$A\times B=\begin{pmatrix}2& 13\\
-4 & 6\\
\end{pmatrix} $ 

 

Remarque :

On  peut ici effectuer le produit $B\times A$ car les dimensions des matrices s’y prêtent.

Ce n’est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.

On dira que le produit des matrices n’est pas commutatif.

Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

 

Définition : matrice diagonale $D_n$

 

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

 

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

 

$D_3^{2}=\begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \\
0 & (-1)^2 & 0\\
0 & 0 & 2^2\\
\end{pmatrix} $    $\iff$   $D_3^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 4\\
\end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice carrée

 

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$ 

$A^2= A \times A$;

$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$

$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$ 

$A^2 =\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
9 & -2\\
\end{pmatrix}$ 

$A^3 =\begin{pmatrix}
-7 & -4 \\
12 & -11\\
\end{pmatrix}$

Matrice inverse

Matrice inverse

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.

S’il existe une matrice $B$ tel que :

$A \times B= B \times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

 

Propriété

 

 Soit $A =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$

Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a\\
\end{pmatrix}$

 

Exemple

Soit $M =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 \times 1 – (-1)\times3 =5$

$ad-bc \neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$    $\iff$    $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm]
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.

On peut aisément vérifier que

$M\times M^{-1}=M^{-1}\times M = I_{2}$

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

 

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1   \\ \end{array} \right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$   ;  $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $   et

  $B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} \times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \\3x+y& = &-7   \\ \end{array} \right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$   ;   $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix} $    et   

$B =\begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}$.

En considérant $A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 \neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$   

$\iff$   $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\dfrac{15}{5} \\
\dfrac{10}{5}\\
\end{pmatrix}$.

$X=\begin{pmatrix}
-3 \\
2\\
\end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$

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