STAGE - MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

Matrices

• Exercice : Suite de matrices

  On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.

  Pour tout entier naturel $n$, on note $ j_n$ le nombre d’animaux jeunes après $n$ années d’observation et $a_n$ le nombre d’animaux adultes après $n$ années d’observation.

  Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.

  Ainsi $ j_0= 200$ et  $a_0 = 500$.

  On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $\begin{cases} j_{n+1}=0,125j_n+0,525a_n \\ a_{n+1}=0,625j_n+0,625a_n      \end{cases}$.

  On introduit les matrices suivantes :  $A=\begin{pmatrix} 0,125 & 0,525 \\ 0,625 & 0,625 \end{pmatrix} $ et,

  Pour tout entier naturel $n$, $ U_n=\begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$.

   

  1)  a) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A \times U_n$

       b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

       c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $A_n$ et de $U_0$.

   

  2) On introduit les matrices suivantes $Q =\begin{pmatrix} 7 & 3\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$  et $D =\begin{pmatrix} -0,25 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$  

       a) On admet que la matrice $Q$ est inversible et que. $Q^{-1} =\begin{pmatrix} 0,1 & -0,06\\ 0,1 & 0,14 \end{pmatrix}$

          Montrer que $Q \times D \times Q^{-1} = A$

       b) Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{-1}$

       c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $ D^n$ en fonction de $n$.

   

  3) On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n =\begin{pmatrix} 0,3+0,7 \times (-0,25)^n & 0,42-0,42 \times (-0,25)^n \\ 0,5-0,5 \times (-0,25)^n & 0,7+0,3 \times (-0,25)^n \end{pmatrix}$  

        a) En déduire les expressions de $j_n$ et $a_n$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.

        b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

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