GRAPHES

Les graphes probabilistes

Les graphes probabilistes permettent de transformer une étude probabiliste en un graphe et sa matrice.

Il existe des graphes d'ordre 2 ou d'ordre 3.

Les poids sur chaque arc correspondent à la probabilité de passer d'un événement à un autre en suivant le sens de parcours imposé par la flèche. 
La somme des probabilités inscrites sur les arcs partant d'un événement doit être égale à 1. 

Exemples : 

On considère le graphe d'ordre 3 suivant, et on le représente également par une matrice, contenant à l'intersection de la ligne $i$ avec la colonne $j$ la probabilité pour passer de l'événement $i$ à l'événement $j$.

En additionnant les probabilité d'une ligne, on vérifie que le résultat vaut 1. 

On peut aussi considérer un graphe d'ordre 2. 

$M = \left ( \begin{array}{cc} 0.3 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 \end{array} \right )$

Application :

On suppose que la situation que l'on étudie se traduit par le graphe d'ordre 2 précédent, que l'on peut traduire sous forme matricielle. 

On considère un état $P_0 = (a \ \; b)$ initial. Pour connaitre l'état $P_1$, on multiplie $P_0$ par $M$ et ainsi de suite. 

On trouve alors que pour tout $n \in \mathbb{N}, \ P_{n + 1} = P_n \times M$.

L'état $n + 1$ correspond à l'état $n$ multiplié par la matrice $M$.  

Il s'agit d'une suite géométrique de raison $M$ et de terme initial $P_0$. 

Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}, P_n = P_0 \times M^n$. On veillera à ce que l'énoncé donne un premier terme pour $n = 0$. 

On essaie de savoir si en regardant pour des états $n$ lointains, le comportement de $P_n$ atteint un état stable, c'est à dire qu'il ne bouge plus, ou encore si la suite $(P_n)$ converge.

Or si aucun des 4 coefficients n'est égal à 0, il existe un état stable, que l'on appelle $P = (x \ \ y)$. 

Pour connaitre les valeurs de $x$ et $y$, on sait que la somme des probabilités vaut $1$ et comme il s'agit d'un état stable, il ne change pas lorsque on le multiplie pat la matrice $M$.

On obtient alors le système suivant : $\left \{ \begin{array}{c} PM = P \\ x + y = 1 \end{array} \right.$