Terminale > Mathématiques expertes > Nombres complexes : équations polynomiales > Stage - Factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$

STAGE - FACTORISATION DE $A^N - B^N$ PAR $(A-B)$

Factorisation de $a^n-b^n$



L'énoncé

On rappelle la formule :

Soit $(a,b)\in\mathbb{C^2}$, soit $n\in\mathbb{N^*}$

Alors, $a^n-b^n=(a-b)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$


  • Question 1

    Montrer à l'aide de la formule donnée  dans l'énoncé que pour tout $n$ non nul,

    $2^n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^{n-k}$

  • Question 2

    Donner une expression factorisée de $a^n-a^{2n}$

  • Question 3

    Montrer que si $n$ est impair, $a^n+b^n$ est divisible par $a+b$

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