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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

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Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l'exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ donc

$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1$. 

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c'est-à-dire que son module vaut $1$.

  

Conjugué

Si $z=e^{i\theta}$ alors on a $\boxed{\bar z = e^{-i\theta}}$.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2\pi$ on a, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$\boxed{ e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}}$

On a, en outre, l'égalité suivante :

$\boxed{\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}}$.

 

 

Produit et quotient

Si $\theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :

$\boxed{{(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}}$.

De manière plus générale, si $\theta$ et $\theta'$ sont des réels quelconques :

$\boxed{e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}}$.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

$\boxed{\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}}$.

 

Exemple

On définit les deux nombres complexes $a=1+i$ et $b=2i$.

Calculer la forme exponentielle de $a$ puis de $b$ et en déduire celle de $a\times b$ et celle de $\dfrac{\bar a}{b}$.

 

En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément : 

$a=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$ et

$b=2e^{i\frac{\pi}{2}}$.

On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:

$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})} $

$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i\frac{3\pi}{4}}$

 

De même, on a :

$\bar a = \sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$ donc

$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{i(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})}$

$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$.