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STAGE - NOMBRES COMPLEXES, FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET EXPONENTIELLE

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Forme trigonométrique et exponentielle

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Formes trigonométriques et exponentielles

 

Définition

 

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.

 

On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$

On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$.

En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :

$ \boxed{z=|z|e^{i\theta}}$

 

Exemple

Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants : 

$a=1+i$    ;   $b=i$  et   $c=2+2i\sqrt3$

 

Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.

En effet,

si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$

alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

 

Ainsi,

$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis

$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$.

Finalement :

$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.

 

De même,

$|b|=\sqrt{1^2}=1$ puis

$\dfrac{b}{|b|}=i = \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})$.

Finalement :

$b= \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})= e^{i\frac{\pi}{2}}$.

 

Enfin,

$|c|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$ puis

$\dfrac{c}{|c|}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})$.

Finalement :

$c= 4 \left[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]= 4 e^{i\frac{\pi}{3}}$.