Notation trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique et exponentielle

Formes trigonométriques et exponentielles

 

Définition

 

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.

 

On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$

On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$.

En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :

$ \boxed{z=|z|e^{i\theta}}$

 

Exemple

Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants : 

$a=1+i$    ;   $b=i$  et   $c=2+2i\sqrt3$

 

Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.

En effet,

si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$

alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

 

Ainsi,

$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis

$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$.

Finalement :

$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.

 

De même,

$|b|=\sqrt{1^2}=1$ puis

$\dfrac{b}{|b|}=i = \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})$.

Finalement :

$b= \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})= e^{i\frac{\pi}{2}}$.

 

Enfin,

$|c|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$ puis

$\dfrac{c}{|c|}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})$.

Finalement :

$c= 4 \left[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]= 4 e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Forme trigonométrique et exponentielle - Exercice 2

Exercice

 

Recherchons la forme trigonométrique et exponentielle de \( z_1 = 1 + i \).

 

Étape 1 : On écrit le nombre complexe sous sa forme trigonométrique à partir de son module et de son argument.

\(z= \left|z \right|(\cos\theta+i\sin\theta)\).

Étape 2 : On en déduit sa forme exponentielle

\( z= \left|z \right|e^{i\theta}\) avec \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l’exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ donc

$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1$. 

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c’est-à-dire que son module vaut $1$.

  

Conjugué

Si $z=e^{i\theta}$ alors on a $\boxed{\bar z = e^{-i\theta}}$.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2\pi$ on a, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$\boxed{ e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}}$

On a, en outre, l’égalité suivante :

$\boxed{\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}}$.

 

 

Produit et quotient

Si $\theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :

$\boxed{{(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}}$.

De manière plus générale, si $\theta$ et $\theta’$ sont des réels quelconques :

$\boxed{e^{i(\theta+\theta’)}=e^{i\theta}\times e^{i\theta’}}$.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

$\boxed{\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta’}}=e^{i(\theta-\theta’)}}$.

 

Exemple

On définit les deux nombres complexes $a=1+i$ et $b=2i$.

Calculer la forme exponentielle de $a$ puis de $b$ et en déduire celle de $a\times b$ et celle de $\dfrac{\bar a}{b}$.

 

En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément : 

$a=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$ et

$b=2e^{i\frac{\pi}{2}}$.

On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:

$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})} $

$a\cdot b = 2\sqrt2 e^{i\frac{3\pi}{4}}$

 

De même, on a :

$\bar a = \sqrt2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$ donc

$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{i(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})}$

$\dfrac{\bar a}{b}= \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$.

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés - Exercice 1

Exercice

 

Écrivons sous la forme exponentielle \(Z = \frac{(1 + i)^7}{(1 – i)^6} \).

Étape 1 : On réécrit le numérateur en utilisant la forme exponentielle de \(1 + i\) dont on connait le module et l’argument.

Étape 2 : On reconnaît au dénominateur le conjugué de l’expression du numérateur. Donc \(1 – i\) a le même module que \(1 + i\).

Étape 3 : De la même façon, on en déduit que l’argument de \(1 – i\) est l’opposé de l’argument de \(1 + i\).

Étape 4 : On utilise les propriétés de l’écriture exponentielle sur les exposants.

Étape 5 : On sait que \( arg(\frac{z}{z’}) = arg(z) – arg(z’) [2\pi] \).

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