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ANNALE - MISSION APOLLO XIV

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Chute d'un objet avec vitesse - Étape 4 : L'équation de la trajectoire du mouvement

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Étape 4 : l’équation de la trajectoire d’un mouvement

 

 

Les équations horaires ont été déterminées : $\overrightarrow{OG} \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & v_0 \times \cos(\alpha)\times t \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times gt^2 + v_0 \times \sin(\alpha) \times t \\
\end{array}
\right.$

 

Il est désormais possible d’établir l’équation de la trajectoire, permettant de suivre le trajet de la balle, et s’écrivant de la forme $y = f(x)$, où $f$ est la fonction indépendante du temps qu’il faut déterminer.

 

Afin d’éliminer le temps au profit des autres paramètres $x$ et $y$, on détermine la valeur de $t$ en fonction de $x$ : $t = \dfrac{x}{v_0\times \cos(\alpha)}$.

On remplace ensuite cette nouvelle valeur de $t$ dans l’expression de $y$ :

$y = -\dfrac{1}{2} \times g \times \left( \dfrac{x}{v_0\times \cos(\alpha)} \right)^2 + v_0 \times \sin(\alpha) \times \dfrac{x}{v_0\times \cos(\alpha)}$

On simplifie alors et distingue les constantes de la variable $x$ :

$y = -\dfrac{g}{2v_0^2\cos(\alpha)^2} \times x^2 +\tan(\alpha) \times x$

C’est l’équation de la trajectoire, on peut associer une coordonnée $x$ à la coordonnée $y$ correspondante à un temps défini. En outre, il s’agit de l’équation d’une parabole, qui dépend de l’angle avec lequel la balle a été lancée initialement.